钉子板上的多边形

                              海安市城南实验小学 夏进

【教学内容】:苏教版五年级上册第108～109 页。

【教学目标】：

1．探索并初步发现钉子板上多边形内有0、1、2、3 个钉子的多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数与图形的面积三者间的关系，发现规律并验证规律，能用含有字母的式子表示规律，运用发现的规律解决简单的实际问题。

2．在动手实践、合作交流等学习活动中发展学生的观察能力、操作能力和抽象

概括能力，培养符号感。

3．在观察、对比、分析中发现规律，体验成功的喜悦，培养学生的数学能力。

【教学重、难点】：经历钉子板上多边形的面积计算公式的推导过程，能运用公式进行面积计算，解决简单的实际问题。

一、开门见山

1.谈话：大家已经看到了今天的课题！——钉子板上的多边形！瞧！这就是钉子板！（电脑出示）

2.谈话：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板（电脑出示点子图）。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1 。

二、分层探索，发现规律

（一）  研究多边形内部有1枚钉子的情况

1.（出示四个多边形）提问：一般情况下，我们用 表示多边形的面积，那么你能很快算出这四个多边形的面积吗？（指名回答）你是怎样想的？（电脑出示并着重演示③号图形）

（学生可能想到数格子、割补法或者将不是整格的看成整格）

2.提问：仔细观察，你觉得这些多边形的面积与什么有关？

预设一：学生可能认为“面积和边数量的多少有关”。

则提问：②号和④号图形的边数是一样的，但是④号比②号图形的面积大。看来多边形的边数与面积没有一定的关系。那多边形的面积与什么有关呢？

预设二：学生可能认为“面积和点的个数有关”。

则提问：多边形边上的钉子数与面积到底有没有关系呢？下面我们来研究这个问题。我们用 表示多边形边上的钉子数。数一数，每个多边形边上有多少枚钉子？（指名回答后电脑演示）

3.提问：观察表格中的数据，你有什么发现？

4.提出猜想：你会用含有字母的式子表示出多边形的面积和它边上的钉子数之间的关系吗？也就是 和 之间的关系吗？（指名回答后电脑出示 并加上？）

5.举例验证。

⑴谈话：这仅仅使我们的猜想（板书：猜想），下面我们进行验证！（板书：验证）

⑵提问：怎样验证这个结论是正确或错误的？（指名回答）

⑶谈话：也就是说如果没有反例就说明这个结论是正确的！如果能找到反例就能够证明这个结论是错误的。

6.提出要求：请大家对照小组活动（一）的要求验证刚才的猜想并完成活动单。（电脑出示）

7.学生活动

8. 集体交流。

⑴提问：刚才的结论正确吗？（指名回答）

⑵谈话：看来你找到了反例！上来展示一下！（投影展示“研究单”）

9.比较发现。提问：老师这里也有一些例子！（教师出示反例）为什么这时候  (出示)是不是刚才的结论完全错误了？请大家再来仔细的观察和比较这两组多边形!你发现了问题的症结所在了吗？为什么上面四个多边 ，而下面的四个多边形 ？（指名回答）

10.总结：看来多边形内部的钉子数和我们刚才研究也有关系。如果用字母 表示多边形内部的钉子数，那么 等于几的情况下， 成立？(指名回答后板书：当 时， )

（二）  多边形内部有2枚钉子

1.提问：刚才研究了 的情况，接下来进一步探索多边形内部钉子数等于几了？

2.要求：好，那么当 时（板书：当 时），“ ”和“ ”存在什么关系呢？请大家继续探究，对照小组活动（二）的要求完成活动单。

3.学生活动

4.小组汇报。提问：哪个小组能结合例子具体说一说你们发现了什么？（指名回答并投影展示“研究单”，着重分析新画的图形）（板书： ）

5总结：当多边形内部有2枚钉子时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2再加1。

（三）  推广规律

1.提问： 与 两种情况是我们通过观察图形、比较数据得到的，现在，请你猜测： 时， ？ 呢？（学生猜测教师板书：当 时， ；当 时， ）。

2，谈话：这只是我们的猜测，还需要我们的验证。

3.提出要求：请大家根据小组活动（三）的要求去验证你的猜想吧。

4．小组活动

5.小组汇报。

提问：⑴有没有小组研究当时的情况的？（指名回答并投影展示“研究单”）

⑵那 如果呢？

⑶有小组研究内部没有钉子的情况吗？

6.合并公式

⑴提问：同学们发现了那么多规律，你们真棒！如果用字母 表示内部的钉子数，你能不能把这些发现用一个等式表示呢？（指名回答后并板书 ）

⑵总结：像这样，通过几个特殊的例子，得出一般性的结论，这种推理在数学上叫不完全归纳法。最后给大家介绍一位数学家，他的名字叫乔治?皮克，我们学习的这个规律最早是由他发现的。以后我们简称为“皮克公式”。（出示）

（四）  我会应用

1. 提问：你能根据皮克公式求出下列多边形的面积吗？

2. 独立完成。

3. 全班交流。提问：你是怎样计算这些多边形的面积的？

（重点让学生说出算式中每个数的含义）

4. 提问：计算这些钉子板上的多边形的面积，你认为第一步应该干什么？第二部呢？

5. 总结：第一步应该数出多边形内部的钉子数；其次，应该数出多边形边上的钉子数！只有这样我们才能选择正确的公式！

三、回顾总结

提问：⑴通过这节课的学习你觉得多边形的面积与什么有关？

⑵回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？

【板书设计】              钉子板上的多边形