教学内容:九年义务教育教科书苏教版小学数学第九册第108—109页《钉子板上的多边形》。

教学目标:

1．探索并发现钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、边内钉子数的关系，会用含有字母的式子表示规律。

2．充分经历自主探索、发现和表达规律的过程，体会不完全归纳思想，渗透数学文化，进一步感受用字母表示规律的数学抽象符号化的意义，积累数学活动经验。

3．通过学习让学生获得创新思维的启迪，彰显数学学科的魅力，激发学习兴趣。

教学重点:

在探索、发现、表达规律的过程中让学生体会“格点法”的价值，感悟数学研究的方法，积累活动经验。

教学难点:探索、发现、合成并表达规律

教学构想：

本课的规律是被誉为史上“最重要的100个定理”之一的“皮克定理”。教学时以多边形面积为抓手，以探索发现为主线，以批判性、创新性的数学思维为灵魂，着力引导学生像科学家一样地研究数学，在动眼观察、动手实践、动脑思考的过程中，感悟规律背后的思想价值，体验数学学习的理智欢乐！

作为探索规律的活动，注重的不仅是结论的得出，更重要的是过程的经历。教材安排的整个探索规律的过程循序渐进。从多边形里有1枚钉子，到2枚钉子，再到3枚、4枚……0枚钉子，让学生充分经历规律探索与发现的全过程。在此过程中学生也明晰了科学研究的基本方法：观察比较——猜想验证——得出结论，培养学生善于发现的眼光、科学严谨的态度、归纳概括的能力。

教学过程:

一、回顾旧知，激活经验。

谈话：同学们，我们已经学会了一些图形的面积计算。这些图形的面积你会算吗？先看第一个三角形，怎么算？（前3个图形随着学生的回答，添上数据。）

出示：

第4幅：这个多边形面积计算有些难，告诉你这4条边的长度，会算了吗？

过渡：看来计算多边形面积要通过边的——（课件出示）。

二、另辟蹊径，探索规律。

1.明确探索路径。

过渡：我们学数学的人，就喜欢奇思妙想！不通过边的长度，多边形的面积计算是否还有别的方法呢？换个角度思考，我们也许就会有新的发现！有位数学家就发现了计算多边形面积的新方法！你们想知道吗？

2.自主探索内部只有1枚钉子的多边形。

（1）观察猜想：（在原来的图形下出现钉子板。）还以刚才的4个图形为例，多边形面积与边上钉子数、边内钉子数到底有什么关系呢？你想老师告诉你，还是自己研究？好样的！请你数一数、填一填，把你的发现写在个人研究单上。

多边形面积（平方厘米）边上钉子数（枚）  边内钉子数（枚）

我的发现（                                    ）            

预设1：边内只有1枚钉子。

预设2：多边形面积等于边上钉子数除以2。

引导：皮克发现多边形面积不仅与边上钉子数，还与边内钉子数这两个量有关。现在你能合起来完整的说一遍吗？

（2）符号表达：多边形边内只有1枚钉子时，边上有n枚钉子，多边形的面积S就可以用——这里的单位不同。刚才我们通过观察图形、分析数据，发现了边内只有1枚钉子的规律。（板书：观察、分析、发现）

3.分组探究内部有0枚、2枚、3枚、4枚……情况

过渡：多边形内除了会是1枚钉子，还可能是2枚，除了是2枚钉子，还可能是3枚，除了是3枚，还可能是4枚，甚至没有钉子。这时又会有什么规律呢？你们想研究吗？接下来我们以小组为单位进行研究。哪些小组愿意研究边内是2枚钉子的？（请你们这几个小组，好吗？）哪些小组愿意研究边内是3枚的？边内是4枚的？边内是0枚的？

（1）小组合作，探索规律。（完成小组研究单）

①画一画：每组画3个内有（    ）枚钉子的多边形。

②填一填：算出多边形面积，数出边上钉子数，完成表格。

③说一说：多边形的面积与边上钉子数、边内钉子数有什么关系？

我的发现：（                                                  ）。

中间有2枚：边上的钉子数除以2，不同的是后面加的1。

中间有3枚：边上的钉子数除以2，不同的是后面加的2。

中间有4枚：还是边上的钉子数除以2，再加了3。

中间有0枚：用边上的钉子数除以2，但减去了1。

（2）大组交流，合成规律。

过渡：看来多边形面积都与边上的钉子数有关，都要用——（板书：÷2，箭头）皮克发现多边形面积还与边内钉子数有关系呢。你能透过这里的不同点，找到相同之处吗？（板书：箭头，—1）最后相加。（板书：+，=）

表达：如果用a表示边内的钉子数，这个多边形面积s可以怎么表示？

4.举例验证：如果边内不止4枚钉子，有5枚，6枚，7枚，甚至更多，是否还存在这样的规律呢？我们还要举例进行——验证! （板书：验证）请同学们画一画、数一数、算一算，在个人研究单中验证。（请两名学生汇报后）有没有验证不到的？

过渡：看来不管边内有几枚钉子，多边形的面积都可以用边上的钉子数——，边内的钉子数——，最后再相加。（板书：结论。）

5.应用规律，体会价值。

提问：运用这个规律，一起来解决一个实际问题。瞧，这是哪里？我们七星湖放到格点中研究，边上有10枚钉子，边内有30枚钉子。谁来算一算七星湖占地面积有多大？（指名回答）

总结：运用这个规律算出来的结果就跟七星湖的实际面积差不多呢！

三、总结提炼，深化理解。

小结：通过今天的学习，我们知道多边形面积计算不仅可以通过边的长度，还可以通过边内、边上的钉子数。这两种方法之间其实是相通的。将来同学们学的数学知识越来越多，就会明白其中的道理了。