圆的周长

教学内容：苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第92～93页例4、例5。

教学目标：

1.      认识圆的周长，认识圆周率π;理解和掌握圆的周长计算公式，能应用公式计算圆的周长，解决周长计算的简单实际问题。

2.      经历观察、操作、测量、计算和交流、归纳等活动过程，推导圆的周长计算公式，积累推导计算公式的学习经验，发展分析、综合和归纳、概括等思维能力。

3.      积极参与实验探究，培养实事求是的科学态度，感受探索计算公式的成功，树立学习数学的自信心。

教学重点：引导学生推导与理解圆的周长计算公式。

教学难点：理解圆周率的意义。

教学准备：大小不同的圆片和软尺、直尺、线、计算器等。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

1.     认识周长

提问：小明和他的两个好朋友约定周末进行自行车比赛，他们三人分别骑着下面三辆自行车，你觉得这个比赛公平吗？为什么？

提问:如果把这三个自行车车轮各滚动一周，想一想，哪一种车轮行的路程比较长?(学生回答后演示三种车轮各滚动一圈的路程)

说明：原来同样是滚动一圈，车轮大的自行车却能行得更远，这个游戏是不公平的。

提问：想一想，车轮滚动一周行的路程是车轮什么的长度?

说明：车轮滚动一周行的路程，是车轮一周的长度，也就是车轮的周长。我们将车轮看做一个圆，围成圆一周的曲线的长就是圆的周长。

提问：你们觉得圆的周长和以前学过的正方形、长方形的周长相比，有什么不同？（长方形和正方形的周长是一圈线段的长度，而圆的周长是一圈曲线的长度）

2.     提出问题。

引导：根据3种自行车车轮滚动一周的路程，哪个周长要长一些?

提问：比较这3个车轮的直径和周长，你有什么发现？

追问：你觉得圆的周长与谁有关？（两条半径就是一条直径，跟半径有关也就是跟直径有关）

谈话：同学们认为圆的周长和直径有关系，圆的直径越大，周长也越大，那到底有没有关系，如果有关系会有怎样的关系呢?(板书:直径 周长)这就是我们这节课要研究的问题:圆的周长。

3.     提出猜想

课件出示长方形和正方形的面积公式

谈话：想想我们以前学过的长方形和正方形的周长，长方形的周长是长和宽的两倍，正方形的周长是边长的4倍，那圆的周长与直径之间会有什么样的关系呢？

说明：我们可以大胆猜想周长与直径之间也存在着某种倍数关系，具体是几倍还需要我们继续探索。

提问：要知道周长是直径的几倍，需要知道哪些条件呢？需要怎么做呢？

说明：需要测量圆的周长和直径，然后用圆的周长除以直径算出周长是直径的几倍。

二、实验探究，解决问题

1、探究量的方法

提问：圆的周长是一条曲线，如果想得到一个圆的周长，你有什么好办法吗？

说明：以前我们测量的长度都是笔直的，但是圆的周长是一条曲线，所以不能直接量。

①绕线法:紧贴圆的边线绕线，剪去多余部分，量出长度。（直尺不能弯曲但是线可以弯曲，用线代替直尺，然后再测量线的长度）

②滚动法:圆上记号和刻度对准，沿直尺滚动一周，得出长度。（像刚才轮胎一样滚动，要注意控制起点和终点，确保滚动的是一圈的长度）

③软尺测量法:软尺绕圆周量一圏，得出长度。（有不能弯曲的直尺也有可以弯曲的软尺）

提问：同学们讨论出的三种方法都能测量出圆的周长，它们有什么共同之处？

说明：都是把围成圆的这条曲线变成直直的线方便测量。这种思想在数学上叫做化曲为直，化不能测量的曲线为可以测量的直线。

谈话：量的方法我们已经掌握了，下面请同学们拿出学具袋，测量手中的原片。

2、测量圆的周长

出示要求:

①选择合适的方法分别测量圆的周长和直径，计算出周长除以直径的商。

②分工合作，仔细测量，记录数据，计算结果。

③根据测量和计算的结果，在小组里说说你的想法。

学生实验，教师巡视、指导。

提问：观察我们量的数据，有什么发现？（圆的周长是直径的3倍左右）

追问：能不能以直径3厘米的圆为例，给大家说一说。（直径3厘米的圆，有的可能量9厘米，可能量9.5厘米，也可能量10厘米）

说明：直径3厘米的圆的周长大家量出来的数据应该是一样的。

说明：量得的数据有大有小，有误差，尽管有误差，不过都差不多，圆的周长是直径的3倍左右。

说明：但是随着精细化要求的提高，这个大约3倍左右已经不能满足生产和生活的需要了，我们需要像科学家一样精益求精，不懈奋斗，努力提高这个倍数的精确度。

引导:要弄清圆的周长和直径有怎样的关系，我们可以通过一幅图来看一看、比一比。

出示圆内接正六边形。

提问：六边形周长近似圆的周长，你能知道六边形周长是圆的直径的几倍呢？

请大家在小组里交流一下，提出自己的想法。

提问：六边形周长是直径的3倍，就表示圆的周长是直径的3倍吗？

说明：不正确，是有误差的。圆的周长比六边形的周长长，圆的周长就应该是直径的3倍多。

谈话：同学们非常棒，我们由一开始的3倍左右逐步探究到是3倍多，这个数据越来越精确，著名数学家赫尔曼外尔就曾说过一句话“数学是精密的科学”，这句话送给大家，我们应该尽己所得到一个更精准的数。

谈话：现在我们借助这个正六边形知道了圆的周长应该是直径的3倍多一点，接下来大家把刚才测量的数据偏差过多的再测量一遍，准确测量，精确计算，来看看究竟是3倍多多少呢？

合作要求：

①选择偏离过多的数据进行重新测量圆的周长和直径，计算结果保留多位小数。

②在可能会出现误差的地方仔细测量，小心谨慎，精益求精！

小组重新测量、修改。

3.介绍圆周率

谈话：我们不管再怎么仔细，数据一直有误差，总是不能得到正确的倍数。但是我们同学们已经非常了不起了，其实今天我们探索的过程就是历史上数学家们探究的过程，我们一起来看一看。

谈话：刚才我们学习的内接正六边形的方法是跟一位数学家学习的，他就是1700多年前的刘徽，这个方法还有个名字叫做“割圆术”。

提问：刘徽得到了周长是直径的3倍多，这与我们的发现是一致的，大家猜一猜，接下来刘徽会怎样研究？

说明：刘徽把正多边形的边数变得更多，这样正多边形的周长就越接近圆的周长，多边形与圆之间的误差就越来越小。

课件出示

谈话：刘徽研究了正12边形、正24边形……尽管已经很接近圆的周长了，但还是有差距，一直研究到正3072变形，最后刘徽计算出内接正3072变形的周长是圆直径的3.1415倍。

提问：大家想一想，刘徽发现的这个倍数是不是还是一个近似的倍数呢？为什么？

说明：因为内接多边形，不管再接近，与圆的周长也有差距。

谈话：后来南北朝时期的数学家祖冲之，继续研究，他一直研究到正24576边形，用纯手工计算，他发现圆的周长与直径的倍数在3.1415926~3.1415927之间，比刘徽时期更加精确了，祖冲之的发现比西方数学家足足早了一千多年，就算是现在的圆周率也是在电脑计算器等高科技产品的帮助下才能算到那么多位数。

提问：看到我国伟大的数学家们的研究，你有什么想说的？

谈话：我国古代的数学家多么了不起，在那么艰苦的环境还能坚持不懈地计算研究。

说明：研究到现在我们知道了圆的周长除以直径是一个固定的数，它叫做“圆周率”。

提问：看一看，这个数与我们之前学习的数有什么不同？（是一个没有任何规律的无限不循环小数）

说明：圆周率用字母π表示，在计算时，一般取它的近似值3.14。

4.圆的周长公式

提问：那现在我们计算圆的周长只需要知道什么条件？可以怎样计算?

说明:只需要知道直径。根据上面计算圆周率的式子，我们可以发现:圆的周长=直径×圆周率。(板书:圆的周长=直径×圆周率)
    引导:如果用字母C表示周长，那么周长C与直径d有怎样的关系?

追问：如果知道了半径r呢?(板书:C=πd、C=2πr)

谈话：有了圆周长的计算公式，再计算圆的周长就方便多了。

三、回顾反思，练习巩固

引导:现在你能试着计算一开始三个自行车车轮的周长大约各是多少厘米吗?

说明：先写公式，再把数值代入公式计算。

检查计算格式和过程、结果。

谈话：地球是太阳系八大行星中第五大行星，距离太阳1.5亿千米，沿赤道一圈长约40053.84千米，你能知道正对我国背面的阿根廷垂直距离是多少千米吗？（π取近似值3.14）

追问：正对我国背面的阿根廷垂直距离是什么意思呢？（地球的半径）这个距离在现实生活中根本无法测量，你打算怎么办呢？

说明：用赤道一圈的周长除以3.14可以直接求直径。

谈话：这么大的地球才排第五，那最大的行星是谁呢？太阳系中最大的行星是木星，直径可达142987千米，是地球的1317倍。感兴趣的同学可以课后搜索资料。

谈话:回顾一下，我们是怎样得出圆周率和圆的周长公式的？

说明:我们先猜想圆的周长与直径是倍数关系，测量后发现，圆的周长可能是直径的3倍左右，借助内接正六边形的帮助我们总结应该是3倍多一些。为了验证这样的想法，我们又重新测量、计算，得出圆的周长总是直径的3倍多一些。根据这样的倍数关系，我们推导出了圆的周长计算公式。

谈话：同学们一节课就这样结束了，我们把数学家几千年的研究成果浓缩在这一节课之内就研究出来了真是了不起，关于π还有更多秘密等待着你们以后一一探索……