张齐华

         “这样美”VS“没内涵”

2003年，我在江苏海安拿到一个参加县级比赛的机会。主办方告诉我，如果你能从县里比出来，就到市里，完了到省里，然后到全国。

当时准备的课是“走进圆的世界”，我就尝试给课堂一些新鲜的色彩。我只有一个愿望，就是希望我上的能够跟别人的有所不同。所以这堂课是这样进入的：平静的水面丢进一颗石子，荡开的就是一个又一个的圆。“大自然当中，圆不只是这样的……”，于是画面、音乐和我还算诗情画意的语言融合在一起。

当时这个课是非常精致的，精致到画面怎么出现，音乐什么时候停，停的时候是多少秒，都非常讲究。课的中间，“没有规矩不成方圆”的现象，《墨子》中“圆，一中同长也”的论述，“圆出于方”的方法等，都用PPT做了精美的展示。

这堂课的确把孩子们给吸引住了！省里赛课，下课前我问孩子们，通过今天这节课，圆给你留下了怎样的印象？一个男孩站起来说，通过这堂课的学习，我觉得圆真是太美了。

这堂课在那时引起了极大的轰动，那时候还没有微博、微信，但有教学论坛，大家在论坛上给了很高的评价，综合起来就是这么一句话：原来数学还可以这样美。

但对这堂课的满意只持续了不到两年的时间。

有一天，师傅张兴华给我打电话，师父说，齐华，听说你的“走进圆的世界”特别有文化，我想问问你，“数学文化”和“数学+文化”是同一个概念吗？

还没等我回答，师傅第二个问题就来了：听说你的课上有个小男孩说了一句“圆真是太美了”，你当时有没有追问，他说的圆指的是黑板上那个到顶点距离等于定长的轨迹太美了，还是那一大堆的画面太美了？

师傅的话一在论坛上传开，有些人就说了，齐华的课你别看有多好，其实就剩下声、光、电三样东西。总之一句话：这是一堂没有内涵的课。

“富丽”到“三无”

既然师傅和那么多好朋友提出来对这节课的质疑，我就反思，我的数学课是不是少了一点数学的东西？我当时定下一个誓言，三年的时间，重上“圆的认识”，而且，我定了三个要求：

第一，大家都说你的课都是绚丽的画面，那再上的话，不允许出现一处和生活有关的画面。第二，大家都说你靠华丽的色彩，那就只允许出现黑白两色。第三，大家说你的课音乐悠扬，行，那就什么音乐都不出现。我决定来一个“三无产品”。

就在第三年，我重新备出了“圆的认识”。课堂是这样进入的：让孩子们从信封里摸出一个圆，在摸的过程当中，感受圆这个曲线图形和其他直线图形整体的差异。然后，给出“在一切平面图形中，圆最美”这个论断。

整堂课围绕“圆究竟美在哪里”展开。孩子们觉得圆最美是因为它特别和谐，特别对称，特别光滑。是什么原因让圆显得那么光滑匀称？因为半径处处相等。这样就把半径、直径等研究内容串起来了。

第一版的“一中同长”只是作为史料呈现一下，新版本则是让学生感受，如果半径一会儿长，一会儿短，就得不到完美的圆形了。当然处处相等的不仅是圆，正三角形其实也有半径，只不过它是三条，正四边形是四条，正五边形五条，等等。

设置了这个问题后，我让学生想象队伍里最远端的是谁，孩子异口同声地喊“圆！”我说不对呀！都是直线图形的队伍，你曲线图形来干什么？曲线和直线的关联、极限的思想就在这个过程中沉淀了。

没有“技术”的日子是很痛苦的，但这堂课，代表了我的追求，那就是我希望实现一个由外而内的转变，向数学的本质回归。

“一直讲”到“让一步”

有一次，我很骄傲地跟我师傅说，我最长的一篇文章有21页。师父看了文章后说，齐华，你不感到汗颜吗？这21页的话有十四五页差不多都是你说的，你不觉得有点太多了吗？教学，教学，不光有“教”，还要有“学”。

一个朋友也提醒我：听你的课，你永远是课堂的核心，而这是不对的。正是他们投来的“匕首”让我决定再一次调整，那就是在教与学之间寻找平衡。“平均数”是我转型非常重要的一堂课。

2003年世界卫生组织报告说，中国男性的平均寿命大约是71岁。课堂上，我呈现了这个素材后就抛出了“三连问”：这么些年过去了，中国男性的平均寿命是变短了还是长了？这是坏事还是好事？是该高兴还是该难过？我这“三连问”其实为的是最后的情境：可是一位70岁的老爷爷，看到这个新闻却高兴不起来，还哭了，知道为什么吗？

我给学生两分钟，商量一下，如果这个老爷爷到现场来，你能不能从专业角度来劝劝他？孩子们很高兴，四人小组，热烈地讨论起来。

两分钟过去了，一个男孩带着一脸坏笑举手了，他说：张爷爷，您好，我想送您一句话，那就是“人生七十古来稀，人生自古谁无死”。现场一百多位老师都笑趴下了。可学生才不管呢！他要的就是出风头的感觉。

这时候课代表举起了手，这个女孩说：张爷爷您千万别难过，您可能不太懂平均数，平均数不代表个个都能活到71。我一听就傻了眼，全场又笑翻了。

这时候班长举手了，我知道班长是来救场的。果不其然，班长说：张爷爷，您好，你千万别听他们的，他们不理解平均数，平均数啥意思，表示有的人会超过70，有的人活不到70。

刚刚回答过的课代表站起来说：张爷爷不着急，我还有理由。我一听很高兴，心想他肯定会说“张爷爷一定能长寿”这样一些话。结果她说：张爷爷，你想中国有很多男性没有活到71岁对不对？既然有那么多人没有活到71岁，是不是多出了很多岁数呀，那多的岁数不正好安到你头上嘛！——我的脸都绿啦！

学生的回答带来一片笑声，但在笑声中是不是没了数学的影子？实际上，笑声的背后是学生对平均数统计意义的把握，是学生对平均数反应一组数据趋势的体会。

这一时期，我希望自己的数学课更好玩，更儿童一点，我希望数学课能接地气，贴近儿童的认知水平和心理发展规律。

“培养”到“生长”

有一位老师说：齐华，你的课非常有吸引力，钻研教材又很通透，课堂的驾驭能力又那么强，你的学生应该非常卓越。遗憾的是，我带过一届六年的学生，和平行班比较，成绩基本持平，他们的数学思维、数学素养，没有显著的差异。这无疑对我是一次沉重的打击，为什么一个貌似卓越的老师并没有培养出一批卓越的学生呢？

于是我又开始上下求索。说实在话，第一次看到郭思乐生本教育的课堂，我的第一个感受是：这是假课堂，六年级的孩子怎么可能这么卓越？

但后来，当我看到身边一所所学校在进行类似的实验，当我看到三四年后，他们的孩子变得那么让人振奋的时候，我才意识到，原来学生的素养，不是教师培养出来的，而是他自己生长出来的。我决定用“认识负数”这堂课来转型！

当我决定重构这堂课后，我一直追问的是，课堂上，我们的孩子究竟在哪里？当然，转型是件极其痛苦的事情。我第一次拿出这堂课是在2009年，我把机会留给学生，让孩子表达对负数的理解。

上完以后，满头大汗！有一位女老师跑到后台跟我讲：张老师，我求你，你千万不要改，好课有不同的标准，适合你的才是最好的，你那么有才华，嘴皮子那么好，你把自己的嘴锁得那么紧，把我们憋死了！

但是，我还不死心。在江苏淮安，第二次上课，我做了重大调整，依然是失败。我开始打退堂鼓，看来自己要一直能说会道下去。后来，我的一位师姐在我这堂课上加了一个环节，她让孩子们去画负数，她的做法一下子触发了我的灵感。

后来，我的课是这么展开的：

生活中，你在哪里见到过负数？孩子说楼梯上，天气预报，海拔，银行卡的余额里……于是，我先让孩子们分享对负数的通俗认识，接下来布置一个任务：你能把负数画下来吗？

师：那么，在这里，0在哪里？

生：140厘米就是0。

生：我举个例子吧，假如把中国男孩全排在一起，那么，我在140厘米的高度上放一把尺子。这把尺子就像是海平面。比它高的就是正数，比它低的就是负数，它就是0。（学生鼓掌）

师：你真是太有才了！那么，其他几个人的身高，你知道吗？

（学生回答，教师呈现具体身高数据，如图。）

师：不过，刚才是用10岁男孩的平均身高作为标准的，我儿子很不高兴。知道为什么吗？

生：因为他比平均身高低，所以身高就成了负数了。

师：那么，有什么办法让他高兴一下呢？

生：可以用王平的身高作为标准。

师：你真会找人啊！想想看，如果用王平的身高作为标准，我儿子的身高是多少厘米？为什么？

生：你儿子的身高应该是＋1厘米，因为他比王平高1厘米。

师：终于变负为正了！不过，同样是我儿子，他的身高怎么一会儿负，一会儿又正了呢？

生：因为标准不同。一开始是用140 厘米作为标准，他的身高是负数。后来是用137 厘米作为标准，他的身高便是正数了。

当孩子们看到“-2厘米”的时候，会有对话，会有质疑，会有争辩，会有完善。我在这当中会有引导，会有纠正，会有提升。这堂课就是在说负数，画负数，论负数的对话中把这堂课完整地向前推。让孩子们在充分对话过程当中，完成对数学意义的建构，这就是我现在对数学的理解。

从“走进圆的世界”，到现在的“认识负数”，我已经把所有的技术都洗干净了。未来的数学教学如果说还有新方法需要我们去挖掘的话，那就是无限地相信学生，有朝一日你会发现，他们太了解不起了！