前不久听我校一位青年教师执教“积的变化规律”，获益良多。现将自己的所见所闻以及所思所想简单整理如下。

【课堂回放】

出示如下的算式：

75×8=600

75×16=

75×32=

25×8=

师：同学们，这里有几道算式，你能根据第一道算式的乘积很快写出其他各题的乘积吗？

大部分学生都能根据算式之间的关系，快速求出下面三道算式的乘积，但也有个别学生选择列竖式计算。

师：能和大家说一说你是怎样快速求出下面三题乘积的吗？

生1：和第一题相比，第二、三题的第一个乘数都是75----16是8的2倍，所以第二题的乘积就是600的2倍，也就是1200；32是8的4倍，所以第三题的乘积就是600的4倍，也就是2400。

生2：和第一题相比，第四题的第二个乘数都是8；又因为75除以3等于25，所以第四题的乘积等于600除以3，也就是200。

生3：我们只需看其中一个乘数的变化情况，就能快速求出积是多少。

……

师：（指用竖式计算的学生）你又是怎样想的？

生：我一开始没有注意后面几道题与第一题的关系，所以直接就用竖式计算了。现在我听明白了，根据算式之间的关系来算，确实很简便。

师：确实如此，刚才几个同学之所以能很快算出下面几题的得数，依据的就是不同算式之间的相互关系。其实，这种关系也叫积的变化规律。大家能结合上面的例子，总结一下积的变化规律吗？

生1：一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也跟着乘几。

生2：一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也跟着除以几。

生3：合起来说就是，一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几，积也跟着乘或除以几。

师：能通过不同的例子验证大家说的这个规律吗？

生1:2×3=6，20×3=60，200×3=600。

生2:25×8=200,25×4=100，25×2=50。

……

师：如果另一个乘数乘或除以“0”，行不行？

生：乘“0”应该是可以的，但是除以“0”不行！

师：为什么？

生：因为除数不能为0。

师：继续想一想，在乘法算式A×B=C中，如果把A乘2，把B乘3，那么得到的积应该用C乘几呢？

生1：得到的积应该等于C乘5。

生2：不对，不对，得到的积应该等于C乘6。

师：得到的积究竟应该等于C乘几呢？能结合具体的例子进行说明吗？

生1：如果原来的算式是25×8=200，那么（25×2）×(8×3)=（25×8）×（2×3）=（25×8）×6 。

生2：也可以直接用字母式子来想---- (A×2)×(B×3)=（A×B）×（2×3）=（A×B）×6 ，所以得到的积应该等于C乘6，而不是C乘5。

师：换两个数，如果一个乘数乘10，另一个乘数乘100，得到的积应该等于C乘多少呢？

生1：得到的积应该等于C乘10，再乘100。

生2：得到的积应该等于C乘1000，因为10×100=1000。

师：进一步，如果一个乘数乘m，另一个乘数乘n，得到的积又应该等于C乘多少呢？

生：如果一个乘数乘m，另一个乘数乘n，得到的积又应该等于C乘（m×n）。

师：反过来，如果一个乘数除以m，另一个乘数除以n，得到的积应该等于C除以多少呢？

生1：如果一个乘数除以m，另一个乘数除以n，得到的积应该等于C除以m，再除以n。

生2：如果一个乘数除以m，另一个乘数除以n，得到的积应该等于C除以（m×n）。

师：同学们，刚刚我们从不同角度仔细研究了积的变化规律；上个学期，我们还曾学习过商不变的规律。比较一下，你觉得这两者之间有什么联系吗？

学生在小组内讨论后，组织全班交流。

生1：商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0数，商不变；积的变化规律是指积会随着乘数的变化而变化。

生2：如果一个乘数不变，把它反过来其实就是商不变的规律。

师：能具体解释一下你的想法吗？

生1：除法中不变的商就相当于乘法中不变的那个乘数，而其余两个数都发生同样的变化。

生2：我有点明白了！不管是乘法还是除法，总有两个数是变化的，还有一个数是不变的。

师：既然两者有相同之处，请大家继续想一想，如果要想积不变，两个乘数该怎么变呢？

生1：一个乘数乘几，另一个乘数除以几，积就可以不变了。

生2：一个乘数乘几，另一个乘数要除以同样的数，这样就能相互抵消，积就能保持不变了。

师：能通过举例进行验证吗？

生1：比如25×8=200，把25乘2,8除以2，就能得到50×4，而50×4还是等于200。

生2：又如30×20=600，把30除以10，再把20乘10，就能得到3×200，而3×200还是等于600。

生3：也可以用字母式子来想，在乘法算式A×B=C中，如果把A乘n，把B除以n，那么得到的积还是C。

……

师：通过刚才的学习，大家觉得对积的变化规律还有哪些需要进一步研究的问题？

生：老师，我还有问题，如果第一个乘数乘6，第二个乘数除以2，乘积又会怎样变化呢？

……

【思考与收获】

上面的教学过程从学生相对熟悉的乘法计算现象入手，着力引导他们从不同角度、不同层面探索并理解积的变化规律，体会相关数学知识之间的内在关联。同时，学生的思维也在教师的引领下一步步地走向深入和通透。学生以高涨的热情投入到探究学习之中，直到铃声响起，他们依旧陶醉其中，不愿停止！

归结起来看，这个教学过程主要有如下几个值得关注的特点：一是起点虽然不高，但导入内容却很具启发性。在以往的乘法运算内容的学习中，学生对“一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几，积也跟着乘或除以几”这一现象其实并不陌生。正是基于这样一种对学情的基本判断，教者设计了“根据一道算式的乘积，快速写出几道相关算式乘积”的导入内容。这个内容既能与学生已有的知识经验自然地衔接，又能很好地体现积的变化规律的基本内涵。学生在计算、比较和讨论的过程中，不知不觉地就总结出了积的变化规律的基本内容。

二是拓展的内容虽然较多，但却十分自然。在学生初步总结出积的变化规律的内容之后，教师着重引导他们进一步探索“两个乘数分别乘或除以一个数之后，得到的积又将如何变化”。这个内容不仅是积的变化规律应有的内涵，而且对后续学习，尤其是“小数乘小数”计算方法的理解，有着十分重要的影响。教师从具体的实例入手，侧重引导学生围绕“当一个乘数乘2另一个乘数乘3之后，积究竟会发生怎样的变化”这个核心问题展开探索，在细心比较、主动推理的过程中逐步获得正确的认识，并把获得的认识进一步加以类推，以使相关认识更加完善。

三是涉及的式题尽管不多，但却较好地体现了由具体到抽象的归纳过程。在引导学生归纳积的变化规律或积不变的规律时，除了启发他们通过不同的例子验证初步发现的结论，还适当呈现了一些简单的字母表达式，鼓励他们合乎逻辑地进行思考。同时，有意识地将“商不变规律”和“积的变化规律”加以沟通，既有助于学生感受数学知识内部的广泛联系，又有助于培养从变化角度分析数量关系的意识，从而为后续学习提供更多的支持。

小学数学的教学内容，可以看成两条河流，一条是由具体知识构成的容易被发现的“明河流”；另一条则是由数学思维过程所构成的具有潜在价值的“暗河流”。它们是血肉和骨架的关系。有了高质量的数学思维，各种具体的数学知识才不会是空洞的，零散的，孤立的。当然，要想真正把握这条“暗河流”的基本脉络，需要我们要深入研究教材，努力追寻知识最本质的内涵。数学的本质往往是隐藏、沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。我们应该有效引导学生经历知识的形成过程，让他们在观察、比较、分析、抽象、概括的过程中不断体会数学内容的本质内涵，感受数学知识发生、发展的逻辑线索。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习也才是充满智慧的。