关于数学课程走向的思考
本文为孙晓天教授在江苏省第二届小学数学特级教师论坛上的报告，许卫兵根据现场录音整理。
我非常有幸能参加这样一个论坛，虽然不是特别了解这个论坛的宗旨，但是，我感觉是非常有战略眼光的。它的目的，就是把全省已经成为特级教师的各位，进一步拓宽视野，增长见识，不仅是个人的成长，也要向全省的小学数学界辐射。这样一个团队，是会引领江苏省的小学数学改革试验向前推进的。论坛应该大家就一些具体的问题谈自己的看法，我今天居高临下的讲，是不太适合论坛的。
最近，我个人觉得，形势很好。有几个标志：第一个是有史以来，我们开了课程改革经验交流会，就在江苏。第二个是温总理在百忙之中到北京三十五中听了5节课，足见教育问题在高层领导中的地位。第三个是钱学森老先生去世了，这在我们国家是一个大事。钱老去世前的最后一个问题，被称为“钱学森问题”，用一句话概括就是“中国的教育为什么不能培养创新人才？”第四，在课程大会上，教育部副部长陈小娅说：“课程改革开弓没有回头箭。”掷地有声，字字千金。今年《人民教育》第22期《课程改革再出发》一文，是对陈小娅部长讲话的一个回应。另外，还有教育部来了新部长——袁部长。袁部长第一次面对媒体，提出教育均衡化。提教育均衡化不是什么新鲜事，但是他给了教育均衡化以具体解读：教育怎么办？新举措就是教师的流动。家长择校，不就是因为你那个学校好教师多！教师流动了，学校不就均衡了。这是国际上比较通行的，也是比较容易操作的。我们小学没有考试的压力，但是有择校的压力。这是小学面临的相当巨大的问题。这个问题也不仅仅是教师流动就能彻底解决的，但是有这种眼光是很总要的。一个朋友在日本，孩子学有所成后要回国了，想到小学里看看原来的三年级老师，没看着，流动走了。又到初中里想看看原来的老师，也流动走了。不是自己调走的，就是流动走的。全世界很多国家，都是通过教师的流动，达到教育的均衡。我说这个，是说从这里看到希望。教师的流动能得到解决，还有什么不能解决的。
这么多事情联系在一起，我心里有一种踏实的感觉。课程改革7、8年后，课程改革再出发。这一步也是关键的一步，关键在我们能不能解决“钱学森”问题。如果这些成立，我下面讲的，多多少少也就有了依据。《人民教育》22期也发了我的文章《当前数学教育应当关注的几个问题》。今年的《中国教育报》刊登了我的《小学数学要放眼长远，注重长效》，读者反响很好。结合这些想法，我谈谈今天的主题：《关于数学课程走向的思考》，我自己思考有这样四个问题：目标、改革、改变、思考。
先谈一个引子：从华人世界里最有名的数学家丘成桐谈起。丘成桐说：“我喜欢读《史记》，《史记》象一部美妙动听的歌剧”。我可以大段地背诵：“高山仰止，景行行止。”这是对孔子的敬仰。“历史是宏观的考察。用宏观的观点考察数学，就会有深刻的思想出来。我常常提出和别人不同的观点，得利于对历史的宏观考察。”
数学家的大气从哪儿来呢，就是有宏观的考察。再看看数学的发展，经历四个高峰：古希腊；牛顿发明微积分；希尔伯特的公理化思潮；计算机以后的数学应用和大规模的综合。我们现在处在第四个阶段，第四个数学高峰的产品如：混沌、孤立子、分形、小波、计算复杂性、费马大定理的证明……，都与社会进步密切相关。比如分形、小波、计算复杂性都是和我们日常的生活联系在一起的，差不多都是宏观的大范围思考的产品。比如“小波”，简单讲就是压缩“曲线”。电子信息的形态都是波形的，如果将曲线进行压缩并减压，就是现在电子信息技术的手段。费马达定理被证明了，在召开发布会时，据说一时出现了票贩子倒卖高价票的现象，这是只有歌星在开演唱会时才会出现的情况。
那么数学的现状怎么样？上海《解放日报》刊登了吴文俊说：“两个不敢说：中国20年来有哪些“叫得响”的数学成果？有没有象华罗庚那样的大师？”2000年数学家大会在中国开，中国有很多人在大会上发言，但是2004年，我们一个发言的也没有。据说，2010年又有了，主要是中国人做了副秘书长。丘成桐说的更直白：“差得还很远！”上海《文汇报》田刚：数学研究不同于体育竞技，不能光靠技巧，更多的应是对数学的兴趣和不懈的毅力。……奥数能培养数学家？……因此，我们不缺技巧，缺少的是宏观与大气，缺少的是想法。
上面仅仅是基于数学分析，如果这些依据是充分的，是不是可以得出这样的结论：技巧、技术我们还行，但却缺少大气，缺少想法，也就是缺少创新意识。到了数学学科里面来，我们就要思考如何解决创新的问题。数学辐射到生活的方方面面，目前基本还停留在第三高峰期之前，微积分啊什么的。发展方向：基本素质，宏观理解，应尽在视野之中。
在我们前进道路上还有困惑：主要来自于这几个方面：1.大众与精英？2.好与差的标准?也就是评价的问题，什么样的教学是好的教学，什么样的教学是好的？3.学科教育、素质教育、创新教育的关系？数学课如果没有给学生留下发现的种子，那就不行。这三种教育是三个教育还是一个教育？4.功利性扭曲着对教育的价值判断。5.数学教育的理论与实践研究均匮乏。我们在编教材时有这种感觉，我们这些年来所积累的教学成果，在编教材时，一本书就编完了。随着新课程的推进，消化得非常快，新的经验又没有积累起来，更没有成熟。考试制度也没有完全建立起来。整体上命题理论没有根本改变。还是“知识点”、目标教学、长考卷。仍然是经过“大运动量训练”者占便宜。
面对如此环境及困惑，该如何思考数学课程的走向问题？
思考一：目标决定数学课程的走向。
数学总是讲公理。不管干什么，一定要按照那个“理”来干。目标体系在课程纲要中有刻画，但是不管用什么语言来刻画，我认为数学课程目标核心的有三个：一个是为学生继续接受教育作准备。小学教育一定要为初中教育做准备，把“直线”教好，到初中才能学好图形。第二与学生的职业和生活有关，有研究表明，我在大学里学的数学也忘掉70%，对普通劳动者而言，小学里学的数学很多没有印记了。所以，数学教育为生活做准备，更多的要服务于生活。小学学到的估算、近似计算有用，但大部分都消耗掉。中学里学二次方程，但是将曲线去掉的话，真正在生活中用二次方程的也微乎其微。对学生一生有用的东西，在小学特别重要。第三是有助于学生今后成为一个好市民。我们一定要通过学科课程来锤炼人的品德，基础教育17各学科，只有每一个学科都把学生当成一个好人来培养，素质教育才会落实。比如说数学有很多功能是其他课程很难承担的，比如，求实，发现，自信。我觉得，数学课程确实有这样的功能。我们是不是在教学中落实这样的功能？以上三点，当然是所有课程都要注重的目标。如果一定要权衡这三个目标中，哪一个更重要，我觉得第二、第三个一定比第一个重要。我们的学生要有职业，要有自己的生活，要成为一个好人。这一点我多次讲，在美国的数学课程中，要让学生成为一个负责人的选民。日本的教学大纲中，数学课程要有助于学生成为世界的日本人。日本是个岛国，只有世界眼光，才能更好生存。我们现在三位一体目标，其实还是很抽象的。情感态度目标以前讲培养社会主义接班人，还是不够具体。关注职业、关注生活、关注教育这是情感态度价值观目标的重点。
上面和数学还没什么最直接联系，更进一步，第一让数学积淀成素养（而不仅仅是考试的利器），不能一学就忘。第二让学生、公众接受和喜欢数学。现在的课程学生接受了，家长、社会还很难说。第三让学校数学插上“发现”的翅膀。发现和别的事不一样，体育明星的子女搞体育，艺术家的子女都是艺术家，但是，发明家的子女差不多都不是发明家，比如爱迪生，爱因斯坦。科学研究研究表明，脑子里没有那一块基因是和创造有关的。这和教育有关。学校教育有责任埋下发现的种子。“钱学森问题”其实就是对教育的批评。
下一步怎么办呢？第一，学现实的、有用的数学。数学应该和现实生活联系在一起。第二开始尝试抽象的、理论的数学。第三，逐步体会数学的思想、方法，在此基础上发展有中国特色的数学课程！
思考二：改革决定数学课程的走向。
课程改革由政府主导，体现了宏观与大气的时代要求，指出了课程的科学、和谐、可持续发展之路。课程改革和经济改革不一样，经济改革是自下而上，农民把土地承包成功了，产量上去了，农民收入增加了，然后，国家再推行联产承包制。经济体制改革差不多每个环节都是自下而上的，联产承包责任制，金融市场的改革，贸易体系的改革，商业制度的改革，都是下面干了，国家一看，行了，然后成为国家的政策。而教育改革是自上而下的，因为教育面临的很多问题，老百姓自己是看不懂的。我们也是孩子的家长，考试总是第一位的，你总得考个好大学啊，找个好工作啊，老百姓不就想这点事啊。但是如果国家也这么想的话，整天想着吃饱饭，那钱学森问题就解决不了了，国家也成不了强国。强国梦就强不了。北京、上海、无锡这些城市，老百姓和国外也差不了多少，但是还有差不多有好几亿的贫困人民，到西北、西南看一看，还看到实实在在的落后。要成为大国，强国，最需要自己的知识产权。靠什么？靠教育。教育要帮助我们插上发现创造的翅膀。政府捏课程改革的脉搏捏得最好，每一位老师所要想的就是按照自己的位置做好自己的事。课程改革没有什么大问题，不能太听老百姓的。比如服务行业，办成人民满意是可以的，但是办人民满意的教育难度很大。国家的政策体现了宏观和大气的时代要求，也体现的课程的国情、科学。国家课程改革纲要有两三万字，要“挤水”的话，其中有两句话是挤不掉的，一是“创新意识和实践能力”以前从没有提；二是培养学生终生学习的愿望，也就是可持续发展，科学发展。教育的可持续发展，用一句话就是终生学习，一生有学习的愿望、能力。如果把人的可持续发展落实到位，人的、经济的、环境的可持续发展就能到位。
《数学课程标准》给出了放眼长远、注重长效的课程方向。无论是试验稿，还是正在修订的实验稿，坚决走数学课程的可持续发展之路。改革决定了数学课程的发展方向。开弓没有回头路，课程改革再出发，课程标准没有问题，是怎么变得更好的问题。方向没有问题，从学生出发没问题，关注实践没问题。就是摔跟斗，也要往前摔。有争论，不要紧。最终大家达成共识。“美国数学战争”，战到专门到中国来考证中国是怎么回事。“日本数学教育大争论”都争论到国际的舞台，开国际会议，日本的发言人，张三和李四都可能争辩。日本的教材中，圆周率大约是3，连3.14都没有。我感觉差0.14，差距很大。而他们说，生活中有多少人用圆周率。我说这个的意思是，是想说争论很正常，中国和外国比较起来，有些争论简直就是毛毛雨。争论是好事，可以使很多问题一下子变得清楚了。当然，改革不是无条件服从。每一场争论，都会让我们的头脑变得更加清楚。
大家都有这样的共识：数学应当包含质疑、思考。数学应该有趣，有用，贴近生活。这些都没问题。几乎每一个数学家批评数学时都提到数学应当跟上时代，数学不只是“考试数学”。改革兼顾了公民的数学素质与精英人才的培养、熊掌与鱼能兼得。现在已经证明了，选几个苗子去培养来搞创新是行不通的，少年科技大学很多现在找不到了，很多改行了，还有些神经。袁隆平现在是一等一的科学家，他的实验简单讲，就是种一大片水稻，然后看这里面有那么几株特别好的，在进行杂交，然后再种一大片。现在我们的考试教育把一把批孩子都按住了。一个科学家批评，数学是让人“开窍”的，现在是让人“闭窍”。所以，从学生出发，面对每一个孩子，给他们发现的可能，就是培养超级水稻。我们一定要有充分的自信，当国家需要有人来发明创造的时候，有人站起来。不能因为大众教育，精英就冒不出来。土壤越肥沃就越有希望。奥林匹克金牌如探囊之物，拿个银牌都很自卑，可是，老外拿银牌就乐坏了。如果这样下去坚持那么几个周期，我们就会人才辈出，才会成为大国。（未完）
关于数学课程走向的思考（续）
我认为，改革有几个切入点：第一，重建数学教学模式；第二重新认识数学能力；第三重造数学问题；第四，重树数学观和教学观。
改革的切入点之一：重建数学教学模式。传统的五环节数学教学模式（复习——导入——新授——巩固——作业）是凯洛夫的，应该发展、改造。现在从小学到大学都还是这样。数学教育家弗莱登塔尔写了两本书，一本是《作为教学内容的数学》，老师们写文章引用率很高；一本是《数学教育反思》。两本书思路大体差不多。他的主要观点就是，数学教学目标一个叫精神实体，一个叫实体。比如，长度，就是一个实体。长度还有一个精神实体，就是，为什么要学习长度，长度是什么，长度在哪里，长度怎么表现，平地有长度，山坡还有长度，平面有长度，球面还有长度，长度还可以叠加，把这些事情想清楚了，就是从为什么开始，一步一步走向抽象长度的过程，叫做精神实体。他的结论：精神实体比实体重要。你告诉学生什么叫长度，怎么量长度，你的教学基本是有效的。如果你引导学生从为什么开始，沿着探索的过程，发现长度，哪怕学生不知道长度是什么事，你成功了一大半。我为什么要讲这个，弗莱登塔尔的观点和凯洛夫的正好相反。凯洛夫是不讲精神实体的，要把长度讲扎实，你就按照我的五步骤就好了。弗莱登塔尔的意思是，这样不行，你一定得告诉我长度在哪儿，长度怎么表现的，让学生自己发现，一步一步从现实到抽象。这是两种截然不同的教学模式。我觉得，弗莱登塔尔讲得非常有道理，真正这么做会给学生埋下发现的种子。如果长度这么研究、面积这么研究，体积这么研究，你就是不讲怎么运算，长时期的积淀，会形成一种东西，用一句话表示，那就是创新意识。当然，在操作中会遇到很多问题，中国有中国的传统，中国人是讲究目标和计划的，完全让学生去发现、探索，时间会拉得很长，空间也会拓展得很展。你可以这么弄，但天天这么做不行。而在荷兰可以天天这么去做，荷兰也就因此而强大，我国的综合实力排第六，荷兰也就一千六百万人，排第十。我们要学，要融合在一起。我们现在通过实践，实际上逐步走出了一条有中国特色、既兼顾传统又面向未来的新的教学模式。我们现在的复习是和提问题联系在一起的。复习+质疑。这次修订的新课程标准，将发现问题和提出问题，分析问题和解决问题作为两个重要能力。具体模式为：复习+质疑；导入+创设情景；讲授+师生互动；巩固+反思；作业+主动学习。这个模式和传统模式的最大区别就是屏蔽了灌输式教学。总的说来是将探究与发现贯穿始终。质疑是探索，创设情景是探索，师生互动是探索，反思是探索，主动学习是探索。
改革的切入点之二：重新认识数学能力。传统的三大能力中，逻辑思维能力是核心。传统的三大能力的来源：前苏联的克鲁切茨基：（1）把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；（3）运用数学符号进行运算；（4）连贯而有节奏的逻辑推理；（5）缩短推理结构进行简洁推理；（6）逆向思维能力；（7）思维的灵活性；（8）数字记忆；（9）空间概念。（“形式化、抽象化）这是苏联的。其它的能力刻画，如美国的问题解决；推理与证明；数学交流；数学知识的连接（关联、综合）。我国呢，《标准》中义务教育：提出问题、发现问题的能力；分析问题、解决问题的能力。高中：1、数学感觉与判断。2、数据收集与分析。3 几何直观与空间想象。4、数学表示与数学建模。5、归纳猜想与合情推理。6、逻辑思考与演绎证明。7、数学联结与数学洞察。8、数学计算与算法设计。9、数学语言与数学交流。10、理性思维与体系构建。所有的能力都可以在小学找到影子，培养都应从这里开始。
改革的切入点之三：改造数学问题。第一，“对、快、准”需科学考量。一个孩子在北大附小，练习册上做每分钟60题口算，从一年级到六年级都是这样。这不是教材配的，不知道是什么人编的，家长都去买。改造数学问题，就是要对一些传统的问题给以思考，寻求科学依据。我们也可以通过自己的实践来给量进行界定。第二，应用题与解决问题不是一回事。应用题的类型是以前的教学大纲提到的。我们传统的教科书中的应用题，不是应用，是练习的题型，因为所有的题型在现实生活中都不存在。像相声里批评的出水管的问题，生活中是很多的，而相遇问题等都是编出来的，训练学生的机智程度和综合解决问题的能力。而路程问题现在被转化成什么呢，现在有个词叫“变式”，转换成了研究三者之间的关系。因此，依依不舍的应用题一定要了解它的来源，也不一定是13类，也有人说11类。有一点是肯定的，都是学完了以后用的。比如路程问题，先学，学完了再用。它和解决问题不是一回事。解决问题是从学习开始的，没有现成的结果供你运用，为了解决问题而学，在学的过程中发现一种模式，再去运用。而伴随着应用而开始的学习，现在的小学数学学习基本都是从应用开始的。每一个新的概念都是从解决问题开始的，从运用开始的。第三，化归与变式不是一切。第四，开放、情景、应用并重是一个努力方向。
改革的切入点之四：重树基于“全面知识”的数学观和教学观。从“双基”：对、快、准到“四基”：基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。
如果说修订的标准有什么大变化，只说一点，肯定就是走向“四基”的新的时代。初衷是这样的，现在三位一体的目标中，过程与方法也叫做解决问题，但是在课程标准的实验稿中，已经把提出问题、解决问题写到课标里了。但是，老师是不大看课程标准的，老师关心的还是双基。一旦学生掌握有含糊了，还是注重双基。因此，这次修订时，把数学思想方法等内容从原来的双基里面拿出来了，拿出来的这些其实还是和过程有关系的。课程标准老的稿子，提出问题，解决问题，建立模型，大家还是认为是双基。因此，这次把基本思想方法、基本活动经验单列。我认为是非常有道理的，我们为什么要搞改革呢？我认为是要收获创新意识和实践能力，收获终生学习的愿望和能力。如果“又对、又快、又准”能够收获创新，能够收获实践能力的话，我们就什么都不干了，专门抓那个，既有经验，又有积累，学生能做冷板凳，家长又热心。多简单啊！事实并不是这么回事，一定要有过程和方法，有思想和经验。一定要把基本思想方法、基本活动经验放到台面上来，和那个基础知识、基本技能平起平坐，才能够落实创新意识和实践能力的培养。为什么？作为课程内容的数学包括：隐性知识和显性知识。从几个角度理解：1.显性知识：能够言传的知识；隐性知识：所知比能言多，只可意会。2.事实性知识、原理性知识是显性的；理解性的知识、如“数感”；与人及其社会关系有关的知识，如价值观，是隐性的。相互关系是：显性：冰山的尖端；隐性：隐藏在冰山下的部分（90%以上）；隐性是显性的基础，既可以辅助和向导，也可以干扰和冲突。如果我们不盯那个90%，只盯那个10%，10%将不复存在。为什么我们花了很多时间，学生不喜欢数学，我们不能产生大数学家，上了大学不报数学专业。方程的概念就是显性的，为什么学习方程？在现实生活中方程藏在哪里呢？我们怎么能够发现它呢？怎么用方程解决问题呢？方程可以解决什么问题呢？我说的这个从现实出发到得出方程的过程，蕴含着思想，在这过程中，从一个未知的需要解决的问题到方程的模型，就是一个发现、探索、刻画的过程，这个过程中运用的以及在这个过程中积淀下来的，也就是隐性知识。隐性知识的特征：形式多样：诀窍、技巧、直觉、思维、意识、约定俗成的默契；信念、价值取向…载体的非技术性：大脑，氛围…内容不确定性：没有形成完整体系，不能精确阐述流通困难：灌输不进去，只能靠体验、领悟、传递、转化……。从隐性走向显性是不可改变的教学走向。
重新审视“教什么”“怎么教”“教的怎么样”？“学什么”“怎么学”“学得怎么样”？
能力是隐性知识的“外显” ；素质是隐性知识的内化与升华；只有显性知识的人可能会成书呆子；只注重显性知识的培养是产生“高分低能”的重要原因；要树立基于“全面知识”的教学观，把隐性知识纳入教学范畴。
知道隐性知识的存在，把握隐性知识的要点，注重显性知识与隐性知识的结合，是当前转变教学模式、教学观念、教学行为的基本点。
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