直观感性对抽象理性的言说(三数）
——《认识负数》的教学重构
■蔡宏圣
【课前慎思】
以往所有的“认识负数”的教学，都遵循于“初步认识”的课标要求，这本身没有错，但什么是“初步认识”，似乎没有唯一正确的公认界定。我们能不能把“初步认识”从经验层面上的肤浅认识，提升为本质层面上的直观认识？在我的想象中，这一如胚胎，虽然都是初级的，但却蕴藏了日后发育为成熟器官的所有生长点。而这并非不可能：你把数学琢磨透了，你就能发现数学的抽象和理性可以通过直观和感性来言说；你把人的学习心理琢磨透了，你就能发现大多数人的认知风格，都更为乐意通过具体的方式来理解抽象的意义。当然，具体不等同于生活经验，在数学内部，具体和抽象是相对而言的。这一切再次说明，用感性去阐释理性，这样的和谐方式的确是高明的数学教育的固有之道。
从《九章算术》中有关负数的记载算起，直到1819年李锐在《开方说》中，提出方程之根也可以是负数，中国数学家使用负数到在数学上接纳负数用了1800多年，而西方数学家用了1000多年。那人类为什么接纳负数比起认识自然数和分数更为曲折和艰辛？因为，0的意义在其中作祟。德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》中，称从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。帕斯卡认为：从0减去4纯粹是胡说。笛卡尔也认为负数是“不合理的数”。19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”。如此种种，莫不说明教学要重视“0”意义的重建。而在数学内部，我们知道引入负数是为了减法封闭性的需要。上述两个方面，便是认识负数需要把握的数学本质。新的教学，所尝试的也就是怎样基于学生的经验，用直观的方式言说这些本质。
【教学实践】
一、铺垫
师：请大家看大屏幕，这是刚才国家形象宣传片《人物篇》中的体育明星们，一共几位？
生：5位。（板书：5）
师：现在呢？（去掉5位明星，只剩下合影的背景）
生：没有人，用“0”表示。（在5后面板书0）
师：说起“0”，大家可记得我们的学生尺上也有刻度“0”，这里的“0”也表示没有吗？（边说边拿起学生尺）
生：尺上的“0”表示从这里开始测量。
师：对，在不同的情境中“0”可以表示不同的意义。有了尺，我们就可以得到体育明星们的身高数据。据传，郎平身高1.84米，也就是184厘米（板书：1.84,184），丁俊晖身高174厘米，郭晶晶身高164厘米。三人中，如果我们把郭晶晶的身高当作标准（板书：标准），看做0，那么丁俊晖和郎平的身高可以记作多少？
生：丁俊晖的身高可以记作10，郎平的身高记作20。
师：谁能用算式来说明10、20这两个数据是怎么来的？
生1：174-164=10，所以，丁俊晖的身高可以记作10。
生2：184-164=20，郎平的身高记作20。
（随学生回答，板书两道减法算式）
师：一条直线，等距离取了3个点，3个人的身高情况在这条直线上怎么表示？
生：最下面的点表示郭晶晶的身高，也就是0；往上就是丁俊晖的身高，表示10；最上面的点表示郎平的身高，表示20。（随学生回答，在直线上相应的点旁标上0、10、20）
二、激疑
师：现在把丁俊晖的身高174厘米当作标准，看做0。那郎平和郭晶晶的身高怎么记？哪个能用算式来说说你是怎么想的？
生：用郎平的身高减去丁俊晖的身高，也就是184-174=10，所以郎平身高可以记为10。
师：那郭晶晶的身高呢？
生：以丁俊晖的身高为标准，用郭晶晶的164好像不能减174。
生：那可以反过来减，用174-164=10。
师：好，既然如此。我把思考后的数据这样填入表格，如何？生1：这样记，郭晶晶和郎平好像一样高。
生2：郎平是高了10厘米，而郭晶晶是矮了10厘米，表格里看不出谁高谁矮。
师：不错，说到问题的要害了。的确，以丁俊晖的身高为标准，郎平比丁俊晖高10，而郭晶晶比丁俊晖矮10，出现了高、矮这样一组相反意义的量（板书：相反意义），用我们以前学过的数表示不出那个相反的意思了。那请大家思考，怎样记录一眼就能清楚地看出郎平是高10厘米，而郭晶晶是矮10厘米？
三、探究
（学生在作业纸的表格里，重新记录，寻找新的记录方法，然后进行交流）
生1：我用文字，郎平记录为：高10，郭晶晶记录为：矮10。
师：一目了然，清清楚楚。
生2：我在表示郭晶晶的身高数据前，加了减号“-”，表示还少10。
师：用了符号，更为简洁，表达得也清楚。
师：两种方法各有各的妙处，但传递的信息却是一致的，那就是我们以前学的数的确不够用了。应该说，每一种方法都有其价值所在，不过为了交流的方便，我们总得统一一种方法。在历史上，数学家们为了表示相反意义的量，也想了很多方法，比如在数旁加不同方向的箭头，在其中的一个数上加个圆点，等等。自20世纪初，数学家们开始在数前面加符号“+”“-”，而且这种方法一直使用至今。不过，读法上已经有了新的变化，分别读作正10、负10，这里的符号分别是正号和负号，正数前的正号可以省略，负号不能省略。还记得这带有刻度的直线吗？容易的事情我们一起来做。现在刻度0表示什么？
生：表示丁俊晖的身高。
师：郎平比丁俊晖高10，哪个点表示郎平的身高？
生：中间那个点，已经标了10。
师：那郭晶晶比丁俊晖矮10，我们可以记作-10，哪个点可以表示这个-10，也就是郭晶晶的身高？觉得这个点已经有的话，给标出来，如果觉得还没有画出来，请大家在作业纸上画出来。
（学生在作业纸上画表示“-10”的点，然后交流）
师：大家在思考画点的时候，老师在巡视，发现大家都在“0”刻度的下面找这个点，这是什么道理？
生：矮了10，这个点肯定在0刻度的下面。如果画在上面，那就表示比丁俊晖高了。
师：那到底是0刻度下面的哪个点呢？
生：在0刻度下面的这里。（学生边说边比划）
师：能用语言说清楚吗？
生：刻度“10”到刻度“0”有多长，刻度“-10”到刻度“0”也跟着有多长，它们之间的长短是相等的。
师：精彩的回答，应该赢得掌声。（学生鼓掌。随之，在课件直线上标出“-10”的刻度）
师：在认识负数前，郭晶晶的身高和丁俊晖的身高比，要用164-174，觉得那是不能减的，这是某同学的想法。现在回头看，有什么新的体会吗？
生：反过来用174-164=10，写真的答案时，写作“-10”。
师：哈，174-164得到的10看来是假的答案哦！大家看，如果164减164等于0，那164-174会比0多还是少？比0少多少？
生1：哦，我知道了。164-174的得数比0少，少10，就是我们刚才说的-10。
生2：164-174=-10。
师：上面我们分别以郭晶晶和丁俊晖的身高为标准，得到了一些有意思的新数。据说，姚明身高224cm，邓亚萍身高155cm，看看表格你知道下面我们以谁的身高为标准进行比较？生：以郎平的身高为标准，因为郎平的身高已经记作“0”了。
师：嗯，以郎平的身高为标准进行比较，我们又会得到哪些新的数呢？请大家先在表格里填一填，然后在带有刻度的直线上找一找这些数应该在哪里？
（学生按照要求，先填表，然后在直线上找点，最后交流，在交流中随机板书相关内容）
四、提炼
师：刚才我们以不同的明星身高为标准，进行相互间比较，得到了这些数（手指黑板上的板书：0，5，10，30，-10，-20，-34）。在这过程中，丁俊晖的身高可一直是1７4，可为什么在不同的比较中，一会儿被记作10，一会儿被记作-10呢？
生：因为比的标准不一样。被记作10，是拿郭晶晶的164为标准的；被记作-10，是以郎平的184为标准的。
师：那谁来说说这些正负数是怎么来的（手指板书中的数）？
生：都是和标准比出来的，比标准身高高的就是正数，比标准身高矮的就是负数。
师：好，既然如此，老师站在这里不动作为标准，如果向前走3步，记作3，那么负数就是？
生：就是向后走几步。
师：（走到学生桌前，拿起一个学生的铅笔盒）如果以这个铅笔盒的价钱为标准，那么比这个价格贵的是什么数？比这个价格便宜的记作什么数？
生：比标准价格贵的就是正数，便宜的就是负数。
师：（走到另一学生前，拿起他的数学书）如果以数学书的页数为标准，那么正数就是什么？负数又是什么？
生：正数就是比数学书多的页数，负数就是比数学书薄的页数。
师：是啊，先定标准，把标准看做0，比这个标准多的、贵的、厚的、重的、高的就是——
生：（齐声）正数。
师：那负数表示——
生：比标准少的、便宜的。
生：比标准矮的、薄的、轻的。
五、运用
师：到这会儿，我们对正负数有了很好的理解，不妨来练一练。
1.先读一读，再说说这些数哪些是正数？哪些是负数？-5 +26 8 -■ -160.6 +1101
师：编题的时候，有个数老师没有写上，就是零，它到底是正数还是负数呢？请大家发表意见。
生1：0是比的标准，把0看做正数或者负数好像都不合适。
生2：0在正数和负数中间，是正数也可以是负数，还不如两个都不是。
师：的确如此，数学中的约定首先不能有多种解释。也正因为如此，我们就约定0既不是正数，也不是负数，它是正负数的分界点。
2.气温情境中正负数的运用与历史。
师：先定标准，再通过比较来确定数量的性质，这种思考方法大有用处。比如气温高低的确定。
师：（用课件配合）气温的变化不能用增添衣服来表示，要用量化的数据来说明。所以，500多年前就有了温度计。但一开始没有标准点，所以同一个温度，不同的温度计上的读数不一样。因此，确定一致公认的标准点就是关键。很多科学家为此作出贡献，比如我们熟悉的牛顿把雪融化时的温度定为0度，人的正常体温定为12度，但此方案没有得到认同。300多年前，瑞典物理学家安德斯·摄尔修斯提出，将水的冰点作为一个标准温度点，把水的沸点作为另一个标准温度点，并把冰点和沸点之间等分100份。在1948年国际计量大会上，这种方法得到认可，为纪念摄尔修斯，人们就把温度单位定为“摄氏度”，用符号℃表示。
请大家看左边的表格，思考和讨论下面的问题：
（1）哪个城市的气温最低？哪个城市的气温最高？
（2）能把这几个气温按照由冷到暖的顺序排一排吗？
（3）如果要把这几个温度在温度计上表示出来，根据正数、负数、0之间的关系，应该最先确定谁的刻度？为什么？
（4）哪个温度的刻度离0刻度最远？哪几个刻度和0之间的距离是相等的？
六、拓展
师：先定标准，再通过比较用正负数来表示数量，这种思考方式在数学中同样有很好的运用。我们看下题：
某小组5位同学的体重如下表，他们的平均体重是多少？
生：（28+35+29+31+27）÷5=30，平均体重30千克。
师：能用今天领悟的方法来解决它吗？
生：把小明的身高作为标准，那小明的体重记作0师：对不起，老师打断你的发言，大家一起来动动脑。沿着这位同学的思路，如果把小明的体重记作0，那其他同学的体重怎么记录？用算式说清楚数据是怎么来的？
生1：小马的体重记作7，因为35-28=7。
生2：29-28=1，小刚的体重记作1。
生3：31-28=3，小利的体重记作3。
生4：27-28=-1，小峰的体重可以记作-1。
师：以28千克为标准，相当于假设每个人的体重都是28千克，下面怎么调整呢？
生：以28千克为标准，实际上还超过了：0+7+1+3=11，剩下的“-1”，相当于少1，所以一共超过10，10÷5=2，所以5人的平均体重是30千克。
师：两种方法相比，无疑后面的方法更为简洁，当数据更多时，这样做的优越性就更为突出。同学们在课后可以设不同的千克数为标准，试着算一算。好，下课！
【课后感怀】
感性与理性，其本质是儿童与数学的另一种表达。立足于数学来说，教学需要从感性出发，逐步提升为数学的理性认识；立足于儿童来说，教学需要从理性出发，帮助儿童寻找合适的感性方式以支撑所学。这两个方面，对于一个小学数学教师来说都是基本功。教学既不能从儿童们的生活世界起步，最后还停留于经验世界里；也不能认为演绎比归纳高明，抽象比感性高级，而用抽象来蹂躏儿童们的心智。数学家庞加莱说：“没有直观性，年轻人在数学科学的理解上就不会有一个开端；他们就不能学会热爱它；他们将在其中看到一个空洞的字谜游戏；没有直观性，他们将永不会应用数学。”要牢记，儿童们只能学儿童数学，所以，“直观地抽象”，这才是高境界。只要找到了贴切的直观形式，那么儿童们对于理性的认识可以前进几大步，本课例就是一个极好的例证。
数学哲学告诉我们，对于一个小学的数学教师来说，教什么远比怎么教来得更为重要，而数学史的确是这样的利器，它犹如望远镜，一只眼透过历史的纷繁看懂怎样从过去来到现在，另一只眼也就看到了教学应该怎样超越现在，走向新的未来。不过与此同时，阅读数学史并不必然地给你的课堂带来新的思路，数学史和数学终究是两个不同的学科领域。斟酌再三，我不得不说，思考才是课堂突破的关键。而什么是思考？思考应该意味着能够从不同角度对那些习以为常、熟视无睹的现象作出新的解释；意味着能够对那些天经地义、理所当然的事物进行审视；意味着能够对那些似是而非、盲目偏激的做法进行自觉的反思。这样，在阅读与斟酌中，你就可以感受到自己原有的认识在剥离脱落，而新的东西在悄然生长。而滋生起来的新的东西，意味着你已经站在了某个视角的前沿。
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